補充課01：TI BA II Plus — 你的實戰工具

1. 為何此事重要

有一款硬件，同時出現在CFA考場、債券部座位、估值面試室，以及會自行建立投資模型的認真散戶桌面上，那就是德州儀器BA II Plus。自1980年代起，它便是行業標配，至今仍是每個認證機構明確允許（CFA、CMT、CIPM）或指定使用（CFA，再次）的計算機。

一個誠實的問題：如果我可以用試算表做所有這些，為何還要學計算機？ 原因有三：

這堂補充課教你使用計算機的方式，就如同學習一件樂器：足夠的理論讓你知道自己在做什麼，然後在標準問題上大量重複練習，直至你的雙手不需要大腦指揮便能完成按鍵。

靜態互動

網站上的互動面板是該設備的工作模擬器——你可以直接在瀏覽器中運行本課的每個範例，無需購買實體機。上方靜態圖片是你的參考；網站上的即時計算機是你的練習場。

2. 你需要掌握的知識

2.1 五個TVM按鍵——核心詞彙

金融中每一個貨幣時間價值問題，都納入同一個代數恆等式，以計算機的五個按鍵表示：

$$ PV \cdot (1+i)^N + PMT \cdot \frac{(1+i)^N - 1}{i} \cdot (1 + i \cdot \text{BGN}) + FV = 0 $$

該方程的五個輸入，正好對應計算機第二行的五個按鍵：

• N — 複利計算的期數。不是年，不是月，而是與付款頻率相匹配的期數。按月還款的30年按揭，N = 360，而非30。
• I/Y — 年利率，以百分比輸入（8代表8%，而非0.08）。計算機在內部除以P/Y，得出每期利率。
• PV — 現值，即今日資金的價值。
• PMT — 定期循環現金流。
• FV — 終值，即期末的價值。

兩個輔助設定位於該行上方：

• P/Y（2ND然後I/Y）——每年付款次數（每月12次、每季4次、每半年2次、每年1次）。
• BGN/END（2ND然後PMT）——付款發生在每期末（普通年金，如按揭還款），還是初（期初年金，如預付租金）？預設為END。切換至期初模式時，顯示屏會顯示BGN。

2.2 符號規則——初學者的絆腳石

BA II Plus採用嚴格的現金流符號規則。

• 負數（-）= 資金離開你的口袋（流出）。
• 正數（+）= 資金進入你的口袋（流入）。

若PV與FV符號相同，計算機便認為資金在時間線兩端流向相同——對幾乎所有實際問題而言，這在經濟上說不通——並返回Error 5。這個錯誤是一項功能：計算機在告訴你，你所輸入的問題因現金流邏輯矛盾而無解。請重新審閱問題並核查符號。

2.3 三個標準問題——計算機的入門練習

以下三種模式反覆出現。網站上的互動示範已將每個問題預載為「試試看」預設，你可以觀看按鍵執行過程並讀取相同答案。

問題一——一次性金額的終值。 你今日以每年8%的利率投資$10,000，持續20年，最終得到多少？

這個數字——$46,609.57——是在名義貨幣下，8%實際利率複利增長20年的代價。（第一週的課程講述為何8%實際收益率是虛構的；但計算本身的數學，正是如此。）

問題二——按揭還款。 你以6.5%年利率按月還款，借入$300,000，還款期30年，每月還款額是多少？

負號提醒你，每月付款從你口袋流出。乘以360，你合共支付了約$682,632來償還$300,000的貸款——餘額為利息，而這正是大多數業主在首次簽署文件時未能內化的深層意義。

問題三——債券到期收益率。 一隻債券今日售價$950，每年支付$50票息，為期10年，到期返還$1,000面值。其到期收益率是多少？

為何答案高於 5%的票息率？因為你以低於面值的價格購入。你在購入時得到的$50折扣（$1,000面值減去$950購入價）在10年持有期內體現為額外收益率。計算機完成代數運算；你需要提供的直覺是——只要價格不等於面值，票息率≠收益率。

2.4 現金流工作表——當付款不均勻時

五個TVM按鍵處理等額年金——每期相同的付款。現實投資問題很少如此整齊。項目評估、不均勻的股息、零散的資本支出計劃——這些都需要CF工作表（頂行的CF鍵）。

按鍵步驟：

輸入現金流後：

• NPV（淨現值）。 按NPV，顯示屏要求輸入I——每期折現率（百分比）。輸入數值，按ENTER，按↓，然後按CPT。顯示的數字即為該折現率下的淨現值。
• IRR（內部回報率）。 按IRR，然後按CPT。顯示的數字是內部回報率——使NPV等於零的折現率。

• CF0 = -1000，C01 = 300，C02 = 400，C03 = 500。
• 按NPV，設定I = 10，計算。結果為$36.91。
• 正數的NPV意味著該項目以$36.91超越了10%的門檻。接受此項目（假設輸入數據正確）。
• 按IRR，然後按CPT。結果約為12.0%——使NPV恰好為零的折現率。由於12% > 10%，從另一角度得出相同結論。

2.5 避免計算機失誤的操作習慣

以下五個習慣，按此順序，可防止最常見的錯誤。

2.6 計算機的邊界：何時改用試算表

BA II Plus適用於封閉式貨幣時間價值問題——任何符合五鍵TVM恆等式的問題，加上CF工作表處理的不均勻現金流，加上債券工作表（2ND 9）處理全價對收益率，以及統計函數（2ND 7、2ND 8）快速計算平均值和標準差。

它是以下情況的錯誤工具：

• 任何迭代或路徑相依的問題。 蒙地卡羅模擬、情景分析、假設分析表——請用試算表。
• 任何需要同時查看所有輸入的情況。 試算表可一次顯示360期按揭付款；計算機一次只顯示一個數字。
• 任何優化類型的問題。 Excel的規劃求解、Python的優化庫——計算機沒有相應功能。

3. 常見誤解

誤解一：「我能用Excel，所以不需要計算機。」

Excel功能更強大、更靈活，但它抽象掉了計算機強制你面對的符號規則。跳過計算機直接使用Excel中=PMT()和=NPV()的初學者，常常建立出符號倒置的模型，產生看似合理卻錯誤的答案。計算機是一種訓練。一旦成為本能，試算表才能用得更安全。

誤解二：「N是年數。」

誤解三：「I/Y是每期利率。」

誤解四：「只要數值大小正確，符號無所謂。」

符號是計算機判斷現金流方向的整個機制。PV和FV符號相同，通常會產生Error 5，或更糟糕的是，產生看似合理的胡亂結果。永遠不要在未先寫下每筆現金流符號的情況下輸入TVM問題。

誤解五：「BGN模式很少用到，我可以忽略。」

每當付款發生在每期初時，BGN就很重要：預付租金、租約付款、在每年初支付的退休年金、預繳保費。預設為END。若問題提及「期初年金」或「在期初付款」，請切換BGN（2ND PMT）。啟用時顯示屏會顯示BGN。

誤解六：「NPV和IRR在接受/拒絕決策上總是一致的。」

對於具有常規現金流（一筆流出後跟隨流入）的獨立項目，兩者一致。對於互斥項目或非常規現金流（多次換向），兩者可能不一致——IRR也可能產生多個根，其中沒有一個是「正確」的回報率。當NPV和IRR不一致時，信任NPV。 CFA的標準答案與實務金融的答案相同。

誤解七：「IRR越高，項目越好。」

IRR有三個結構性問題：它隱含假設中間現金流以IRR本身再投資（現實中很少如此）；當現金流換向超過一次時，可能產生多個解；而且它忽略項目規模。$100資本上的50% IRR，並不優於$1,000,000資本上的20% IRR——後者的盈利金額在數量級上遠超前者。

誤解八：「計算機的精確度不及試算表。」

BA II Plus具有13位內部精度，在一般金融問題上與試算表計算相當甚至更勝一籌。顯示四捨五入至小數點後兩位是呈現方式，而非計算方式。在日常TVM問題上，計算機與Excel若有分歧，幾乎都是試算表有誤——通常是某個儲存格公式中差了一個期數或符號放錯位置。

4. 問答

問題1：我按CPT I/Y時，計算機返回Error 5，是什麼問題？

答：Error 5意味著你輸入的數據無解。九成情況下，原因是符號錯誤：PV和FV（或PV和PMT）符號相同，告訴計算機資金在時間線的每個節點都朝同一方向流動。這對生息工具而言是不可能的。將其中一個符號反轉後重新計算。

問題2：我應永久保持P/Y = 1，還是按題設定？

答：兩者都可行。「永久P/Y = 1」規則更穩健，因為它防止了整個計算機中最常見的錯誤：在一道按月計算的問題後，忘記將P/Y改回來，導致下一道題以錯誤頻率計算。許多專業人士僅因此原因便採用此規則。代價是你需手動將N乘以頻率（30年 × 12 = 360個月），以及將I/Y除以頻率（6.5% / 12 = 0.5417%）。

問題3：如何計算半年付息債券的價格？

答：兩種方法，均正確。

• 使用P/Y = 2：N = 年數 × 2，I/Y = 年化收益率，PMT = 年票息的一半，FV = 面值（通常為1000），然後CPT PV。結果為含息（或除息，視規則）價格。
• 使用P/Y = 1：N = 年數 × 2，I/Y = 年化收益率 ÷ 2，PMT = 年票息的一半，FV = 面值。答案相同，記賬方式不同。

答：TVM用於等額（固定）年金；CF用於不均勻現金流。按揭、標準面值或溢價債券、定期儲蓄計劃——用TVM。項目評估、逐年變動的股息流、有零散資本支出的房地產現金流，以及任何每期金額不固定的情況——用CF。NPV和IRR僅存在於CF工作表中。

問題5：如何處理遞延年金（付款從第5年開始）？

答：分兩步進行TVM計算。第一步：計算從付款開始日起的年金現值——即第4年（首筆現金流前一期）的年金價值。第二步：將該價值通過另一次TVM計算折現至今日，設PMT = 0。計算機沒有內置的遞延年金函數；兩步分解法是每位從業者的處理方式。

問題6：BA II Plus能計算麥考利存續期和修正存續期嗎？

答：可以——通過債券工作表（2ND 9）。輸入結算日、票息率、到期日、贖回價值、日計基準，以及收益率或價格。在YLD/PRI之後繼續下翻，會顯示AI（應計利息）、DUR（修正存續期）及其他欄位。凸性未直接顯示；你需從當前收益率附近的兩個價格點手動計算，或在試算表中完成。

問題7：普通年金與期初年金在計算機操作上有何區別？

答：普通年金 = 每期末付款 = END模式（預設）。期初年金 = 每期初付款 = BGN模式（以2ND PMT切換）。在正利率下，期初年金的價值始終略高於相同名義金額的END模式年金，相差恰好一期利息——這正是在期初收到資金的便利所需支付的折讓。

問題8：為何我的按揭還款額是負數？

答：因為它每月從你口袋流出。負號是計算機告知你資金流向的方式。金額大小是你簽支票的數字；符號是計算機的記賬方式。若你將PV輸入為正數（銀行將錢交給你），則PMT必須為負數（你將錢交給銀行）。若兩者同為正數或同為負數，你某處有符號錯誤。

問題9：BA II Plus與Excel相比，精確度如何？

答：13位內部精度，在TVM問題上與試算表精度相當或更勝一籌。顯示四捨五入至你選擇的格式（預設2位小數；2ND .可設定0至9位）。計算機與Excel在常規TVM問題上若有分歧，幾乎必定是試算表有漏洞——通常是某個儲存格公式中差了一個期數或符號放錯位置。

問題10：有無免費方式在不購買設備的情況下練習？

答：有。本課網站上嵌入的互動面板，是BA II Plus的工作模擬器，包含五個TVM按鍵、現金流工作表、NPV、IRR、P/Y設定、BGN/END切換，以及本課的標準範例（已預載為一鍵預設）。它足以應對本課程其餘所有問題。若你打算參加CFA考試，實體機仍值得購買——考場只允許使用真實設備。

補充課 01：TI BA II Plus — 你的實戰工具

1. 為什麼這很重要

在 CFA 考場、債券交易席位、估值面試室，以及認真自行建模的散戶投資人桌上，只有一款硬體設備始終如一地出現：德州儀器 BA II Plus。自 1980 年代起，它便是業界的預設標準，也是每個認證機構明確核准（CFA、CMT、CIPM）或直接點名指定的計算機（尤其是 CFA）。

一個誠實的問題是：既然試算表能做到這一切，為什麼我還要學計算機？ 原因有三：

這堂補充課教你使用計算機的方式，就像學習一件樂器：先有足夠的理論知識讓你知道自己在做什麼，然後在經典題型上大量反覆練習，直到你的雙手不需要大腦拼出按鍵步驟。

靜態互動

網站上的互動面板是本裝置的完整模擬器——你可以直接在瀏覽器中執行本課的每個範例，無需購買實體機。上方的靜態圖片是你的參考資料；網站上的即時計算機則是你的練習場地。

2. 你需要知道的內容

2.1 五個貨幣時間價值按鍵——核心詞彙

金融領域中每一道貨幣時間價值問題，都符合同一個代數恆等式，以計算機的五個按鍵表示：

$$ PV \cdot (1+i)^N + PMT \cdot \frac{(1+i)^N - 1}{i} \cdot (1 + i \cdot \text{BGN}) + FV = 0 $$

該等式的五個變數，正好對應計算機第二排的五個按鍵：

• N — 複利期數。不是年數，不是月數，而是與支付頻率相對應的期數。一筆按月還款的 30 年房貸，N = 360，而非 30。
• I/Y — 年利率，以百分比輸入（8% 輸入 8，而非 0.08）。計算機內部會將其除以 P/Y 以得出每期利率。
• PV — 現值，即今日的資金價值。
• PMT — 定期重複現金流量。
• FV — 終值，即期末的資金價值。

第二排上方還有兩個輔助設定：

• P/Y（2ND 再按 I/Y）—— 每年支付次數（月付為 12，季付為 4，半年付為 2，年付為 1）。
• BGN/END（2ND 再按 PMT）—— 付款發生在每期期末（普通年金，如房貸還款）還是期初（預付年金，如預付租金）？預設值為 END。切換至期初模式時，螢幕顯示 BGN。

2.2 符號慣例——初學者常在此卡關

BA II Plus 採用嚴格的現金流量符號慣例。

• 負號（-）＝ 資金離開你的口袋（流出）。
• 正號（+）＝ 資金進入你的口袋（流入）。

若 PV 與 FV 符號相同，計算機會認為資金在時間軸兩端流動方向一致——這對幾乎所有實際問題而言都不具備經濟意義——並回傳 Error 5。這個錯誤是一項功能：計算機在告訴你，你所輸入的問題因現金流量邏輯矛盾而無解。重新閱讀題目，確認符號。

2.3 三個經典題型——計算機的 Hello World

以下三種模式將反覆出現。網站上的互動示範已將每題預載為「立即試算」預設題，你可以觀察按鍵操作並讀取相同答案。

題型一——一次性投入的終值。 你今日投入 $10,000，年報酬率 8%，持有 20 年。結果為何？

這個數字——$46,609.57——是在名目美元下，以 8% 複利成長 20 年的代價。（第 1 週的課程說明了為何8% 實質報酬是虛構的；然而這個計算的數學本身，正是如此。）

題型二——房貸還款金額。 你以年利率 6.5% 借款 $300,000，分 30 年按月還款。每月還款金額為何？

負號提醒你，這筆款項每月從你的口袋流出。乘以 360，你共支付了約 $682,632 以還清 $300,000 的貸款——其餘皆為利息，這也是多數屋主在第一次簽約時未能深刻體會的重點。

題型三——債券到期殖利率。 一檔債券今日售價 $950，每年支付 $50 票面利率，持有 10 年，到期償還 $1,000。其到期殖利率為何？

為何答案高於 5% 的票面利率？因為你以低於面額的價格購入。你在買入時獲得的 $50 折價（$1,000 面額減去支付的 $950），將在十年持有期間體現為額外報酬。計算機完成代數運算；你則需具備這樣的直覺：只要價格不等於面額，票面利率就不等於殖利率。

2.4 現金流量工作表——當期款不均等時

五個貨幣時間價值按鍵處理的是等額年金——每期支付金額相同。現實投資問題鮮少如此整齊。專案評估、不規則股利、分散的資本支出計畫——這些都需要使用 CF 工作表（最上排的 CF 鍵）。

按鍵流程：

現金流量輸入完畢後：

• 淨現值（NPV）。 按 NPV，螢幕詢問 I——以百分比表示的每期折現率。輸入後按 ENTER，按 ↓，再按 CPT。螢幕顯示的數字即為該折現率下的淨現值。
• 內部報酬率（IRR）。 按 IRR，再按 CPT。螢幕顯示的數字即為內部報酬率——使淨現值等於零的折現率。

• CF0 = -1000、C01 = 300、C02 = 400、C03 = 500。
• 按 NPV，設定 I = 10，求解。結果為 $36.91。
• 正的淨現值表示此專案在 10% 的門檻率下仍多出 $36.91 的價值。應接受此專案（假設輸入數據正確）。
• 按 IRR，再按 CPT。結果約為 12.0%——使淨現值恰好為零的折現率。由於 12% > 10%，從不同角度得出相同結論。

2.5 避免計算機失誤的五個習慣

以下五個習慣，按順序執行，可防止最常見的錯誤。

2.6 計算機的適用範疇與試算表的起點

BA II Plus 是處理封閉解貨幣時間價值問題的正確工具——任何符合五鍵貨幣時間價值恆等式的問題，加上透過 CF 工作表處理的不均等現金流量，再加上債券工作表（2ND 9）處理整數價格對殖利率的換算，以及統計功能（2ND 7、2ND 8）快速計算平均數與標準差。

以下情況則不適用：

• 任何需要迭代或路徑相依的運算。 蒙地卡羅、情境分析、假設模擬——請用試算表。
• 任何需要同時看到所有輸入的情況。 試算表可以一次顯示 360 期房貸還款；計算機一次只顯示一個數字。
• 任何最佳化問題。 Excel 的規劃求解、Python 的最佳化函式庫——計算機沒有對應功能。

3. 常見迷思

迷思一：「我會用 Excel，所以不需要計算機。」

Excel 更強大也更靈活，但它抽象化了計算機強制你面對的符號慣例。跳過計算機直接使用 Excel =PMT() 和 =NPV() 的初學者，往往建出符號顛倒、看起來合理卻答案錯誤的模型。計算機是一種訓練紀律的工具。一旦操作成為反射，試算表才能更安全地使用。

迷思二：「N 是年數。」

迷思三：「I/Y 是每期利率。」

迷思四：「符號不重要，數值對就好。」

符號是計算機判斷現金流量方向的整套機制。PV 和 FV 符號相同，通常會產生 Error 5，或更糟——看起來合理卻完全錯誤的數字。輸入任何貨幣時間價值問題前，務必先寫下每筆現金流量的符號。

迷思五：「BGN 模式很少用，可以忽略。」

只要付款發生在每期期初，BGN 就至關重要：預付租金、租約款項、年初支付的退休年金、預繳保費。預設值為 END。若題目說「預付年金」或「每期期初支付」，請切換至 BGN 模式（2ND PMT）。啟用時螢幕顯示 BGN。

迷思六：「淨現值和內部報酬率的接受/拒絕決策一定一致。」

對於具有傳統現金流量（一次流出後接連流入）的獨立專案，兩者確實一致。但對於互斥專案或非傳統現金流量（多次符號變換），兩者可能相左——且內部報酬率可能產生多個根，沒有一個是「正確」的報酬率。當淨現值與內部報酬率相矛盾時，以淨現值為準。 這既是 CFA 的標準答案，也是實務金融的標準答案。

迷思七：「內部報酬率越高，專案越好。」

內部報酬率有三個結構性缺陷：它隱含假設中間現金流量以內部報酬率本身再投資（現實中幾乎不成立）；當現金流量符號變換超過一次時可能產生多個解；且它忽略專案規模。$100 資本的 50% 內部報酬率，並不優於 $1,000,000 資本的 20% 內部報酬率——後者的盈餘以數量級計算遠超前者。

迷思八：「計算機的精確度不如試算表。」

BA II Plus 內部運算精度達 13 位有效數字，在一般金融問題上與試算表計算精度相當甚至更高。螢幕顯示四捨五入至小數點後兩位只是呈現方式，而非計算結果。在日常貨幣時間價值問題上，若兩者出現差異，試算表出錯的機率遠高於計算機——通常是期數差一或公式中符號錯置。

4. 問與答

Q1：按 CPT I/Y 時計算機顯示 Error 5，問題出在哪裡？

答：Error 5 表示依照你輸入的條件，此問題無解。十次有九次，原因是符號錯誤：PV 和 FV（或 PV 和 PMT）符號相同，告訴計算機資金在時間軸每個節點都是同向流動。這對付息工具而言在經濟上不可能成立。將其中一個符號反轉後重新計算。

Q2：應該永久保持 P/Y = 1，還是每題調整？

答：兩種方式都可行。「永久 P/Y = 1」慣例更為穩健，因為它能防止整部計算機最常見的錯誤：做完月付問題後忘記將 P/Y 改回，導致下一道題以錯誤頻率計算。許多專業人士單憑這個理由就採用此慣例。代價是你必須自行手動將 N 乘以頻率（30 年 × 12 = 360 個月），並將 I/Y 除以頻率（6.5% ÷ 12 = 0.5417%）。

Q3：如何計算半年付息債券的價格？

答：兩種方式，結果相同。

• 設定 P/Y = 2：N = 年數 × 2、I/Y = 年度殖利率、PMT = 年票面利率的一半、FV = 面額（通常為 1000），然後 CPT PV。結果為（視慣例）含息價格或除息價格。
• 設定 P/Y = 1：N = 年數 × 2、I/Y = 年度殖利率 ÷ 2、PMT = 年票面利率的一半、FV = 面額。答案相同，帳務處理方式不同。

答：貨幣時間價值按鍵處理等額（固定）年金。CF 工作表處理不均等現金流量。等額房貸、標準面額或溢價債券、定期儲蓄計畫，使用貨幣時間價值按鍵。專案評估、逐年變化的股利流、含分散資本支出的不動產現金流量，以及任何每期金額不固定的情況，則使用 CF 工作表。淨現值和內部報酬率只存在於 CF 工作表中。

Q5：如何處理遞延年金（第 5 年才開始支付）？

答：分兩個貨幣時間價值步驟。第一步：計算以付款開始日為基準的年金現值——即第 4 年（首筆現金流量前一期）的年金價值。第二步：再透過另一個貨幣時間價值計算，將該價值以 PMT = 0 折現回今日。計算機沒有內建遞延年金功能；這個兩步分解法是所有從業者的處理方式。

Q6：BA II Plus 能計算馬考爾存續期間和修正存續期間嗎？

答：可以——透過債券工作表（2ND 9）。輸入結算日、票面利率、到期日、贖回價值、天數計算基準，以及殖利率或價格。向下捲動 YLD/PRI 之後，可看到 AI（應計利息）、DUR（修正存續期間）及其他欄位。凸性未直接顯示；需從當前殖利率兩側的兩個價格點手動計算，或在試算表中完成。

Q7：就計算機操作而言，普通年金與預付年金有何不同？

答：普通年金 = 每期期末支付 = END 模式（預設值）。預付年金 = 每期期初支付 = BGN 模式（以 2ND PMT 切換）。在正利率下，預付年金的價值總是略高於名目上相同的 END 模式年金，差距恰好是一期的利息——這也是持有人提前取得資金所支付的折價。

Q8：為什麼我的房貸還款金額是負數？

答：因為它每月從你的口袋流出。負號是計算機告訴你資金流動方向。金額的絕對值是你開支票的金額；符號是計算機的帳務記錄。若你將 PV 輸入為正數（銀行撥款給你），則 PMT 必須為負數（你將錢還給銀行）。若兩者皆為正或皆為負，表示某處有符號錯誤。

Q9：BA II Plus 與 Excel 的精確度相比如何？

答：13 位有效數字的內部精度，在貨幣時間價值問題上與試算表精度相當甚至更高。螢幕顯示格式可依你的設定四捨五入（預設小數點後兩位；2ND . 可設定 0 至 9 位）。在日常貨幣時間價值問題上，若計算機與 Excel 結果不同，幾乎都是試算表的問題——通常是期數差一或儲存格公式中符號錯置。

Q10：有免費方式可以練習而無需購買實體機嗎？

答：有。本課嵌入網站的互動面板是 BA II Plus 的完整模擬器，包含五個貨幣時間價值按鍵、現金流量工作表、淨現值、內部報酬率、P/Y 設定、BGN/END 切換，以及本課所有經典範例的一鍵預設題。它足以完成本課程其餘所有題目。若你計劃參加 CFA 考試，實體機仍值得購買——考場內只允許攜帶真實設備。

附加课01：德州仪器 BA II Plus——你的实战工具

1. 为什么这件事很重要

在整个金融世界里，有一件硬件设备同时出现在CFA考场、债券交易台、估值面试室，以及认真建模自己头寸的散户投资者的桌上——那就是德州仪器 BA II Plus。自1980年代起，它便是行业默认的计算器，也是每个认证机构明确许可（CFA、CMT、CIPM）或点名指定（CFA，再次）的那款。

真正值得追问的是：如果我能在电子表格里完成所有这些计算，为什么还要学这台计算器？原因有三：

这节附加课教你学计算器的方式，就像学一门乐器：足够的理论让你知道自己在做什么，然后大量重复经典问题的练习，直到你的手不需要大脑拼出按键顺序就能完成操作。

静态互动

网站上的交互面板是该设备的可运行模拟器——你可以直接在浏览器中运行本课的每一个示例，无需购买实体机。上方的静态图片是你的参考资料；网站上的实时计算器是你的练习场。

2. 你需要掌握的内容

2.1 五个货币时间价值按键——核心词汇

金融中每一道货币时间价值问题，都适配同一个代数恒等式，用计算器的五个按键来表达：

$$ PV \cdot (1+i)^N + PMT \cdot \frac{(1+i)^N - 1}{i} \cdot (1 + i \cdot \text{BGN}) + FV = 0 $$

该方程的五个输入量，恰好就是计算器第二排的五个按键：

• N ——复利期数。不是年数，不是月数，而是与付款频率匹配的期数。一笔30年按月还款的房贷，N = 360，而非30。
• I/Y ——年利率，以百分比形式输入（8代表8%，而非0.08）。计算器内部会将其除以 P/Y 得到每期利率。
• PV ——现值，即今天这笔钱的价值。
• PMT ——每期周期性现金流。
• FV ——终值，即在期末的价值。

该行上方有两个辅助设置：

• P/Y（2ND 然后 I/Y）——每年的付款次数（月付12，季付4，半年付2，年付1）。
• BGN/END（2ND 然后 PMT）——付款发生在每期末（普通年金，例如房贷还款）还是每期初（预付年金，例如预先支付的租金）？默认值为 END。切换至起始模式时，显示屏会显示 BGN。

2.2 符号规则——初学者最常栽跟头的地方

BA II Plus 使用严格的现金流符号规则。

• 负数（-）= 钱从你口袋里流出（流出）。
• 正数（+）= 钱流入你的口袋（流入）。

如果 PV 和 FV 符号相同，计算器会认为资金在时间线的两端都朝同一方向流动——这对几乎所有现实问题来说都毫无经济意义——因此返回 Error 5。这个报错是一项功能：计算器在告诉你，你输入的问题无解，因为现金流的逻辑自相矛盾。请重新审题，检查符号。

2.3 三道经典问题——计算器的入门练习

以下三种模式反复出现。网站上的交互演示已将每道题预设为"立即试试"选项，你可以观看按键执行过程并读取相同的答案。

问题1——一次性投入的终值。 你今天投入10,000美元，年利率8%，持续20年。它会变成多少？

这个数字——46,609.57美元——就是以名义美元计算，在8%实际利率下复利增长20年的价格。（第一周的课程讲的是为什么8%实际利率是虚构的；但这个计算的数学过程，正是如此。）

问题2——房贷月供。 你以6.5%年利率借入300,000美元，30年期，按月还款。每月还款额是多少？

负号是计算器提醒你，这笔钱每月从你口袋流出。乘以360期，你总共还了约682,632美元来还清一笔300,000美元的贷款——其余是利息，这才是大多数购房者在第一次签合同时没有内化的深层含义。

问题3——债券的到期收益率。 一只债券今天售价950美元，每年支付50美元票息，持续10年，到期返还1,000美元面值。其到期收益率是多少？

为什么结果比5%的票息率更高？因为你以低于面值的价格买入。购买时获得的50美元折价（1,000美元面值减去950美元购买价），在十年持有期内以额外收益率的形式体现出来。计算器完成代数运算；你则需要建立直觉——只要价格不等于面值，票息率就不等于收益率。

2.4 现金流工作表——当付款额不均匀时

五个货币时间价值按键处理的是等额年金——每期付款相同。现实中的投资问题很少如此整洁。项目评估、不规则股息、波动性资本支出计划——这些都需要用到CF工作表（顶行的 CF 键）。

按键操作流程：

现金流输入完毕后：

• 净现值。 按 NPV。显示屏要求输入 I——每期折现率（百分比形式）。输入后按 ENTER，再按 ↓，然后 CPT。显示数字即为该折现率下的净现值。
• 内部收益率。 按 IRR，然后 CPT。显示数字即为内部收益率——使净现值等于零的折现率。

• CF0 = -1000，C01 = 300，C02 = 400，C03 = 500。
• 按 NPV，设 I = 10，计算。结果为36.91美元。
• 净现值为正，意味着项目超过10%的门槛收益36.91美元。接受该项目（假设输入正确）。
• 按 IRR，然后 CPT。结果约为12.0%——净现值恰好为零时的折现率。由于12% > 10%，从另一个角度得出相同结论。

2.5 避免计算器失误的五个好习惯

以下五个习惯，按顺序执行，可以防止最常见的错误。

2.6 计算器的边界，以及何时该用电子表格

BA II Plus 适合封闭形式的货币时间价值问题——凡是适配五键货币时间价值恒等式的问题，加上 CF 工作表处理的不规则现金流，加上债券工作表（2ND 9）用于全价与收益率转换，以及统计功能（2ND 7，2ND 8）用于快速计算均值与标准差。

以下情况，计算器是错误的工具：

• 任何迭代或路径依赖的问题。 蒙特卡洛模拟、情景分析、假设分析——用电子表格。
• 任何需要同时看到所有输入的情况。 电子表格可以一次展示全部360笔房贷还款；计算器一次只显示一个数字。
• 任何形如优化问题的情况。 Excel 中的规划求解、Python 中的优化库——计算器没有等效功能。

3. 常见误区

误区一："我会用Excel，所以不需要计算器。"

Excel 更强大、更灵活，但它抽象掉了计算器强制面对的符号规则。跳过计算器直接学Excel里的 =PMT() 和 =NPV() 的初学者，经常建出符号搞反但看起来合理的模型，得出错误的结果。计算器是一种训练。一旦它变成本能，电子表格就会更安全。

误区二："N 是年数。"

误区三："I/Y 是每期利率。"

误区四："只要数值大小对了，符号无所谓。"

符号是计算器判断现金流方向的全部机制。PV 和 FV 符号相同，往往会产生 Error 5，或者更糟糕——产生看起来合理但实际错误的结果。输入任何货币时间价值问题之前，先把每笔现金流的符号写下来。

误区五："BGN 模式很少用，可以忽略。"

误区六："净现值和内部收益率在接受/拒绝决策上总是一致的。"

对于现金流常规的独立项目（一次流出后接流入），两者一致。对于互斥项目或现金流不规则的情况（多次符号变化），两者可能不一致——而且内部收益率还可能产生多个根，没有一个是"正确"的收益率。当净现值和内部收益率不一致时，相信净现值。 CFA的标准答案与实际金融操作的答案一致。

误区七："内部收益率越高，项目越好。"

内部收益率有三个结构性问题：它隐含假设中间现金流按内部收益率本身再投资（这很少成立）；当现金流变换符号超过一次时，可能产生多个解；它忽视项目规模。100美元资本上的50%内部收益率，并不比1,000,000美元资本上的20%内部收益率更好——后者创造的绝对收益高出好几个数量级。

误区八："计算器不如电子表格精确。"

BA II Plus 内部保留13位精度，对于普通金融问题，这与电子表格的计算精度相当甚至更高。显示屏四舍五入到小数点后两位是展示格式，而非计算精度。在日常货币时间价值问题上，两者若出现分歧，电子表格出错的概率远远高于计算器——通常是单元格公式里期数差一或符号放错位置。

4. 问与答

Q1：我按 CPT I/Y 时计算器显示 Error 5。哪里出错了？

A：Error 5 意味着你输入的数值无解。十有八九，原因是符号错误：PV 和 FV（或 PV 和 PMT）符号相同，告诉计算器资金在时间线上每个节点都朝同一方向流动。这对于任何计息工具来说都不可能。反转其中一个符号，重新计算。

Q2：我应该永久保持 P/Y = 1，还是按题调整？

A：两种都可行。"永久 P/Y = 1"的方式更稳健，因为它能防止整个计算器操作中最常见的错误：处理完月付问题后忘记把 P/Y 改回来，然后在错误的频率下计算下一道题。很多专业人士仅凭这一点就选择这种方式。代价是你必须手动乘以频率计算 N（30年×12=360个月），以及手动除以频率计算 I/Y（6.5%÷12=0.5417%）。

Q3：如何给半年付息债券定价？

A：两种方法，均正确。

• 使用 P/Y = 2：N = 年数×2，I/Y = 年度收益率，PMT = 年票息的一半，FV = 面值（通常为1000），然后 CPT PV。结果是全价（或净价，取决于你的规则）。
• 使用 P/Y = 1：N = 年数×2，I/Y = 年度收益率÷2，PMT = 年票息的一半，FV = 面值。答案相同，账务处理方式不同。

A：货币时间价值按键用于等额（固定）年金。CF用于不等额现金流。用货币时间价值按键处理房贷、面值或溢价发行的标准债券、定期储蓄计划。用CF处理项目评估、逐年变化的股息流、包含波动性资本支出的房地产现金流，以及任何每期金额不固定的情况。净现值和内部收益率只存在于CF工作表中。

Q5：如何处理递延年金（付款从第5年开始）？

A：分两步做货币时间价值计算。第一步：计算年金在付款开始那一天的现值——也就是在第一笔现金流发生前一期（第4年末）的价值。第二步：将该价值在递延期内折现回今天，用另一个单独的货币时间价值计算，令 PMT = 0。计算器没有内置的递延年金功能；两步分解法是所有从业者的通用做法。

Q6：BA II Plus 能计算麦考利久期和修正久期吗？

A：可以——通过债券工作表（2ND 9）。输入结算日、票息率、到期日、赎回价值、日期计算惯例，以及收益率或价格。在 YLD/PRI 之后继续向下滚动，可以看到 AI（应计利息）、DUR（修正久期）等字段。凸性不直接显示；你需要在当前收益率两侧各取一个价格点手动计算，或在电子表格中完成。

Q7：普通年金和预付年金在计算器操作上有何区别？

A：普通年金 = 每期末付款 = END 模式（默认）。预付年金 = 每期初付款 = BGN 模式（用 2ND PMT 切换）。在正利率下，预付年金的价值始终略高于相同名义金额的普通年金，差额恰好等于一期利息——这就是债券持有人为在期初拿到钱而支付的折价。

Q8：为什么我的房贷月供显示为负数？

A：因为这笔钱每月从你口袋流出。负号是计算器在告诉你资金流动方向。金额的绝对值才是你开支票的数字；符号是计算器的账务记录。如果你把 PV 输入为正数（银行把钱给你），那么 PMT 必须为负数（你把钱还给银行）。如果两者都是正数或都是负数，某个地方出现了符号错误。

Q9：BA II Plus 与Excel相比，精度如何？

A：内部13位精度，对于货币时间价值问题，与电子表格的计算精度相当甚至更高。显示屏根据你选择的格式四舍五入（默认两位小数；2ND . 可设置0到9位）。在常规货币时间价值问题上，计算器与Excel出现分歧时，几乎总是电子表格出错——通常是单元格公式里期数差一或符号放错位置。

Q10：有没有免费练习的方式，不用买实体机？

A：有。本课网站嵌入的交互面板是 BA II Plus 的可运行模拟器，包括五个货币时间价值按键、现金流工作表、净现值、内部收益率、P/Y 设置、BGN/END 切换，以及本课经典示例的一键预设。对于课程中的所有后续问题，它已完全够用。如果你打算参加CFA考试，实体机仍然值得购买——考场只允许使用真实设备。